Mathematical SETI, non solo radiotelescopi

Sul finire dell’agosto 2012, appare per la prima volta, in lingua inglese ad opera dell’editore Springer, il volume “Mathematical SETI”, dove Claudio Maccone raccoglie e aggiorna il suo ventennale lavoro sull’algoritmo per le telecomunicazioni KLT, la missione FOCAL, il progetto PAC, e finalmente la sua ultima fatica, la completa revisione delle basi matematiche del SETI e la conseguente rivalutazione degli aspetti sociologici della nuova Formula di Drake. Un libro difficile, a detta dell’autore stesso, diretto agli scienziati, ai ricercatori, difficilmente reperibile al di fuori dell’ambito accademico. Forse per fare ammenda col vasto pubblico degli space enthusiast, Maccone ha voluto scrivere una lunga prefazione, dove, con un linguaggio non specialistico, tenta di spiegare i concetti più importanti del suo lavoro. Vi presentiamo qui la traduzione della prima parte, dedicata agli aspetti matematico-sociologici del SETI. (RF)

SETI (Search for Extra Terrestrial Intelligence), la moderna ricerca di un’intelligenza extraterrestre, iniziò nel 1959 con la pubblicazione dell’articolo pionieristico “Searching for Interstellar Communications”, di Giuseppe Cocconi (1914-2008) e Philip Morrison (1915-2005), pubblicato su Nature, Vol. 184, n° 4690, pp. 844-846, 19 settembre 1959. Appena un anno dopo, nel 1960, Frank Drake iniziò il radio SETI sperimentale con il progetto Ozma, in cui per la prima volta cercò di captare possibili segnali extraterrestri vicino alla frequenza radio di 1420 megahertz, la riga di emissione dell’idrogeno neutro. Vide così la luce il moderno radio SETI, tuttora in piena attività grazie agli enormi progressi compiuti nel settore delle strumentazioni elettroniche e degli algoritmi matematici elaborati dai computer per rilevare i segnali alieni. Solo qualche anno dopo, nell’incontro su SETI presso L’Osservatorio Nazionale di Radio Astronomia di Green Bank, West Virginia, Frank Drake offrì un altro contributo fondamentale, conosciuto attualmente sotto il nome di “equazione di Drake”. Tale equazione viene descritta nel Capitolo 1 del libro, insieme alla sua estensione per l’equazione che comprende probabilità e statistiche, scoperta da questo autore nel 2007 e presentata per la prima volta nel 2008. Quest’analisi occupa i primi 11 capitoli di questo libro.

PARTE I – STATISTICHE SETI. Questa prima parte del libro è composta da 11 capitoli.

Capitolo 1 – L’equazione statistica di Drake. Questo capitolo mostra come la classica equazione di Drake, il prodotto di sette numeri positivi, possa essere sostituita dal prodotto di sette variabili positive casuali, che prende il nome di “equazione statistica di Drake”. Questa modalità è scientificamente più consistente in quanto ogni valore in entrata (input) della classica equazione di Drake è accompagnato ora dal segno che contraddistingue l’approssimazione (~)In altre parole, gli input puramente numerici della classica equazione di Drake diventano ora i valori medi delle corrispondenti variabili casuali, ai quali dovrà essere addizionata o sottratta una certa deviazione standard (che dovrà essere trovata sperimentalmente), come è d’uso in ogni serio articolo scientifico. Le conseguenze matematiche di questa trasformazione vengono spiegate, dimostrando che la nuova variabile casuale N, relativa al numero di civilizzazioni della Galassia in grado di comunicare, deve seguire la distribuzione di probabilità lognormale qualora si permetta che il numero dei fattori nell’equazione di Drake aumenti a piacere. Questo risultato offre la possibilità di inserire nell’equazione di Drake un numero sempre maggiore di fattori, consentendole di essere più rappresentativa della realtà fisica: per esempio, la fine di una civiltà in seguito all’impatto di un asteroide era assente nella formulazione di Drake del 1961, probabilmente perché fu solamente nel 1980 che la scomparsa dei dinosauri come conseguenza dell’impatto di un asteroide fu accettata dalla comunità scientifica. Il Capitolo 1 ricava anche un’altra distribuzione di probabilità chiamata “distribuzione di Maccone” da Paul Davies e altri), che fornisce la funzione di densità di probabilità (pdf) della distanza tra due qualsiasi civiltà vicine nella Galassia. Questo è di importanza capitale per SETI, in quanto spiega come difficilmente si possa sperare di localizzare forme di civiltà aliene a una distanza inferiore a 500 anni luce. La spiegazione più naturale per l’apparente fallimento di 50 anni di ricerca SETI (1960-2010) è che il motivo per cui non le abbiamo individuate dipende semplicemente dal fatto che i nostri attuali radiotelescopi non arrivano a una distanza sufficiente, poiché si possono spingere al massimo a distanze di 100-200 anni luce.

Capitolo 2 – Lasciare che sia Maxima a fare i calcoli. Questo capitolo introduce gli studenti e i giovani ricercatori al piacere di poter fare a meno dei calcoli scritti ricorrendo a Maxima, un programma di algebra liberamente scaricabile. In pratica il lettore troverà in appendice ai vari capitoli tutti quei codici Maxima che l’autore ha dovuto ricavare da solo per dimostrare le diverse equazioni fornite per la prima volta nel libro. Si tratta di un’assoluta novità per il genere di libri fortemente matematici come questo: non soltanto non ci vergogniamo di dimostrare ai nostri lettori la bellezza di SETI, dell’astrofisica e dell’elaborazione dei segnali, ma insegniamo loro come ricavare importanti nuovi risultati grazie a Maxima e Mathcad. Un paio di esempi come dimostrazione: nelle Appendici 2.A e 2.B deriviamo le proprietà statistiche della distribuzione lognormale, di importanza centrale per l’equazione statistica di Drake illustrata nel Capitolo 1, e, come dimostrazione delle notevoli capacità di Maxima nel calcolo tensoriale, ricaviamo l’universo chiuso di Einstein del 1917 (fondamentale per la cosmologia), le equazioni di Friedman del 1924, e il conseguente numero di protoni dell’universo, il famoso 10⁸⁰ ricavato da Dirac nel 1937 (cosmologia di Dirac).

Capitolo 3 – Quanti pianeti per l’uomo e per gli alieni? Questo capitolo presenta al lettore l’equazione di Dole (1964). Da un punto di vista matematico quest’equazione è uguale a quella di Drake, ma si applica al numero di pianeti abitabili della Galassia, piuttosto che al numero di civiltà della Galassia in grado di comunicare. Estendendo dunque il nostro studio alla classica equazione di Dole del 1964 arriviamo alla conclusione che nella Galassia dovrebbero esistere all’incirca 100 milioni di pianeti abitabili dall’uomo, più una deviazione standard di 200 milioni. Non male per la futura espansione del genere umano nella Galassia, sempre che si sopravviva ai molti pericoli che dovremo affrontare nei secoli a venire, quali le avversità fisiche e l’opposizione da parte degli alieni. Avendo trovato nel Capitolo 1 la distribuzione di probabilità della distanza fra due civiltà aliene, nel Capitolo 3 scopriamo che la stessa distribuzione di probabilità si applica alla distanza tra due pianeti vicini abitabili – dopo aver cambiato i numeri (ma non le equazioni), ovviamente.

Capitolo 4 – Paradosso statistico di Fermi e viaggi intergalattici. Questo capitolo affronta il tema della possibile espansione nella Galassia di una civiltà, umana o aliena che sia. L’idea centrale è che la quantità di tempo richiesta per l’espansione nello spazio sia determinata sostanzialmente da due fattori: (1) la velocità dei veicoli spaziali utilizzati per saltare da un pianeta abitabile al successivo; (2) il tempo necessario per colonizzare un nuovo pianeta da zero trasformandolo in una base da cui partire per i successivi viaggi spaziali. Assumiamo che la prima variabile (la velocità della nave spaziale) sia essenzialmente deterministica, e non richieda un’elaborazione statistica. Assumiamo anche, però, che la seconda variabile (il tempo di colonizzazione) segua la distribuzione lognormale, di nuovo come conseguenza del fatto che il numero dei fattori sconosciuti è così grande da avvicinarsi all’infinito. Viene qui usato il Teorema Centrale del Limite della statistica, come si è fatto rispettivamente nel Capitolo 1 per trovare la distribuzione di N e nel Capitolo 3 quella di N_Hab. Partendo da questi presupposti, il modello statistico per la crescita dei coralli nel mare applicato all’espansione di una civiltà nella Galassia ci permette di determinare la distribuzione di probabilità del tempo complessivo necessario a una data civiltà per espandersi attraverso l’intera Galassia. I calcoli diventano piuttosto complicati, e soltanto un uso assennato di Maxima ci ha permesso di trovare le distribuzioni di probabilità pertinenti. Si tratta ovviamente di un ampliamento statistico del famoso paradosso di Fermi, fino ad ora affrontato dagli altri autori in contesti banalmente deterministici.

Capitolo 5 – Quanto a lungo può vivere una civiltà? Questo capitolo cerca di affrontare il valore totalmente sconosciuto dell’ultimo termine dell’equazione di Drake: quanto a lungo potrebbe sopravvivere una civiltà tecnologica? Poiché nessuno lo sa – dato che siamo noi stessi siamo l’unico esempio a disposizione – in questo capitolo la discussione si limita alle variazioni del numero N a seconda che si tratti di civiltà di lunga piuttosto che di breve durata. Gli esempi numerici offerti in questo capitolo sono l’estensione statistica dei corrispondenti valori deterministici dati da Carl Sagan nel suo libro (e serie TV) Cosmos (1980).

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Capitolo 6 – Modelli matematici che abbracciano tutta la vita, tramite funzioni b-lognormali finite. Questo capitolo contiene del materiale profondamente innovativo, considerato dall’autore uno dei migliori modelli matematici concepiti da lui fino ad ora, nei suoi 64 anni di vita. L’idea è la seguente. Tutti gli esseri viventi sono nati, ciascuno al suo momento (t = b = birth (nascita)), poi sono cresciuti durante l’adolescenza (t = a = adolescenza), poi hanno raggiunto il loro punto più alto nel picco (t = p = picco), seguito dalla senilità (t = s = senilità), e infine dal decesso (t = d = death (morte)). Esiste una funzione finita della densità di probabilità che ha un simile comportamento nel tempo? Sì, esiste, e si chiama b-lognormale. Cos’è una b-lognormale? E’ semplicemente una ordinaria lognormale (μ,σ) che comincia per un valore positivo del tempo, cioè t = b > 0 piuttosto che t = 0. La sua equazione richiede lo scivolamento del valore d’inizio verso un nuovo istante positivo t = b > 0, che noi chiamiamo b-lognormale, perché questa funzione della densità di probabilità sembra non avere ancora un nome. Ma gli altri quattro punti nel tempo menzionati sopra hanno invece un immediato significato matematico: (1) il tempo dell’adolescenza (t = a) è l’ascissa del punto di flessione ascendente; (2) il picco (t = P) è ovviamente l’ascissa del punto massimo; (3) il tempo della senilità (t = s) è l’ascissa del punto di flessione discendente; (4) il tempo della morte (t = d) è l’ascissa del punto in cui la tangente alla senilità incrocia l’asse del tempo, e questo trucchetto matematico ci permette di sbarazzarci dell’estremità finita a destra, rimpiazzandola con un ovvio punto finito. Tali sono, quindi, le b-lognormali. Ora, il Capitolo 6 è interamente dedicato a scoprire nuove equazioni matematiche che esprimano i due parametri sconosciuti (μ,σ) come funzioni di qualcuno dei valori di input noti, come il momento della nascita (t = b), più due delle quattro variabili di input rimanenti (a, p, s, d). L’autore è stato in grado di scoprire alcune equazioni finite di questo tipo, e probabilmente ne esistono ancora altre sconosciute, ma quello che è stato in grado di scoprire è stato sufficiente per scrivere i Capitoli 7 e 8, di centrale importanza rispettivamente per la “storia matematica” e per la “evoluzione matematica darwiniana”. In chiusura l’autore deriva un’espressione per la funzione di densità di probabilità finita delle b-lognormali per normalizzare di nuovo a 1, invece della costante ordinaria di normalizzazione delle lognomrali ordinarie.L’insieme di questi nuovi risultati è un importante passo in avanti che ci permette di rimpiazzare la montagna di parole utilizzate al giorno d’oggi per descrivere l’evoluzione darwiniana e la storia matematica con un semplice insieme di distribuzioni statistiche in accordo con l’equazione statistica di Drake e SETI.

Capitolo 7 – Civiltà storiche come b-lognormali finite. Applichiamo i risultati del Capitolo 6 alla storia matematica. Calcoliamo e confrontiamo le b-lognormali finite di otto civiltà che hanno influito maggiormente sulla storia del mondo negli ultimi 3.000 anni: la Grecia antica (600 a.C.-30. a.C.), la Roma antica (753 a. C.–476 d. C.), l’Italia rinascimentale (1250–1600), il Portogallo (1419–1974), la Spagna (1492–1898), la Francia (1524–1962), la Gran Bretagna (1588–1974), e gli Stati Uniti (1898–c. 2050). Si potrà obiettare che tutte queste civiltà appartengono al cosiddetto mondo occidentale, ciò nonostante è in Occidente che negli ultimi 3.000 anni troviamo le civiltà più avanzate. È altamente probabile che in futuro l’Asia sostituisca l’Occidente alla guida dell’umanità, ma allo stato attuale, nel 2012, si tratta di un’eventualità ancora incerta. Così queste otto [funzioni] b-lognormali sono confrontate sullo stesso grafico dove emerge chiaramente una sorta di “inviluppo superiore”: si tratta di una curva esponenziale che, più o meno, abbraccia tutte le b-lognormali come luogo geometrico dei loro picchi! Il risultato principale è in questo caso il fatto che nel b-lognormali diventano sempre più strette con il passare del tempo (cioè, i loro picchi diventano sempre più elevati) e questo rivela il progresso (cioè, un crescente grado di civilizzazione). Per rendere questo risultato quantitativo, piuttosto che solamente qualitativo, abbiamo bisogno di una nuova unità di misura per la “quantità di evoluzione” raggiunta da una data civiltà in un dato momento, proprio come i metri misurano la lunghezza, i secondi misurano il tempo, i coulomb misurano la carica elettrica, eccetera. Chiamiamo questa nuova unità di evoluzione “darwin”, e la introduciamo nel capitolo successivo, che si occupa dell’evoluzione darwiniana. Il motivo per cui lo facciamo è perché nella scienza “misurare vuol dire capire”.

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Capitolo 8 – Un modello matematico per l’evoluzione e SETI. L’“inviluppo esponenziale” che era appena accennato nel precedente capitolo, ora si delinea chiaramente come il collegamento tra l’evoluzione darwiniana e la famiglia di b-lognormali vincolata tra l’esponenziale e l’asse temporale. Innanzitutto definiamo l’evoluzione darwiniana semplicemente come la crescita esponenziale del numero di specie viventi sulla Terra che ha caratterizzato gli ultimi 3,5 miliardi di anni di vita sulla terra. In altre parole, presumiamo che 3,5 miliardi di anni fa apparve il primo e unico organismo vivente (RNA?) e tracciamo una curva esponenziale che collega quel punto alle attuali circa 500.000 specie viventi. Questa curva esponenziale è dunque il luogo geometrico dei massimi della famiglia, con un solo parametro, di b-lognormali (il parametro variabile della famiglia è il tempo b di nascita di una qualsiasi nuova specie) tenendo conto della cladistica (cioè la moderna teoria dell’evoluzione che si basa rigorosamente su quando una nuova specie appare nel corso dell’evoluzione, e non su asserzioni tassonomiche rudimentali e semplicistiche). Detto ancora in altro modo, ogni nuova specie è una curva esponenziale, in leggero aumento o diminuzione nel tempo, che si diparte dall’ “esponenziale principale” (l’inviluppo complessivo) quando una nuova specie ha origine. Come ulteriore nuovo risultato, ricaviamo anche la distribuzione di probabilità “NoEv” o “Non Evoluzione” per una data specie, vale a dire la funzione della densità di probabilità (pdf) che si applica quando una data specie non subisce alcun cambiamento per un lunghissimo tempo (cioè quando i suoi membri nascono, crescono, si accoppiano, invecchiano e muoiono per milioni o miliardi di anni senza che il loro numero aumenti o diminuisca in modo significativo). Stranamente questa nuovissima distribuzione di probabilità risultante dalla nostra teoria non è più un lognormale o un b-lognormale. È qualcosa di nuovo, come una legge statica dell’evoluzione, e il fatto che l’articolo che affronta appunto la tematica “NoEv” sia stato pubblicato in una rivista come OLEB (Origine della Vita ed Evoluzione delle Biosfere) significa che non stiamo parlando di assurdità.

Capitolo 9 – Statistiche sociali secondo l’equazione statistica di Drake. Questo capitolo si occupa di una nuova possibilità risultante dall’equazione statistica di Drake, ovverossia come derivare matematicamente nuovi risultati statistici relativi ad argomenti precedentemente sconosciuti da dati statistici già noti. L’argomento sconosciuto in questo caso è la “componente sociale” dell’equazione di Drake (cioè il prodotto dei suoi ultimi tre termini fi·fc·fL). Questi tre termini corrispondono rispettivamente a: (1) fi la probabilità che su un pianeta già brulicante di vita possa nascere la vita intelligente (cioè superiore alle scimmie), come è accaduto nel caso della storica evoluzione dell’umanità sin dalla sua apparizione sulla Terra circa 7 milioni di anni fa fino alla scoperta delle onde radio, le quali rendono possibile la comunicazione tra civiltà aliene diverse nella Galassia (l’esistenza delle onde radio fu compresa matematicamente per la prima volta nel 1864 da James Clerk Maxwell come soluzioni sinusoidali per le sue appena scoperte equazioni di Maxwell); (2) fc corrisponde alla fase in cui una civiltà è in grado di comunicare utilizzando strumenti radio, laser o persino neutrini, fase che per gli esseri umani è storicamente iniziata nel 1864 e continua tutt’oggi; (3) fL corrisponde alla durata di vita complessiva di una civiltà, dal suo inizio fino alla sua fine (ad esempio come risultato dell’impatto di un asteroide, della vicina esplosione di una supernova, di una stella o di un pianeta vaganti che alterano la stabilità gravitazionale del sistema stellare interessato, o anche a causa di guerre nucleari tra gli alieni), di cui non sappiamo assolutamente nulla. Detto questo, il Capitolo 9 suggerisce che potremmo sapere qualcosa (vale a dire una distribuzione statistica) relativa alla “componente sociale” fi ^. fc ^. fL riscrivendola come il rapporto fi ^.fc ^. fL = N/(Ns ^. fp ^. ne ^. fl) = N/N_Hab Poiché le distribuzioni di probabilità di N e N_Hab sono entrambe note (lognormali rispettivamente delle equazioni di Drake e di Dole) tutto si riduce a calcolare la nuova distribuzione di probabilità del rapporto fra due lognormali, che non è un lognormale ma un’altra distribuzione più generale ricavata da noi nel Capitolo 9.

Capitolo 10 – Equazioni cubiche di ripresa storica. Carl Sagan nel suo libro (e serie TV) Cosmos illustra con chiarezza i mille anni di progresso perduti dall’umanità tra la caduta dell’Impero Romano d’Occidente (476 d. C.) e la fase di ripresa del Rinascimento Italiano (circa 1400 d. C.). Nel Capitolo 10 trasformiamo tutto ciò in una semplice (forse semplicistica) curva matematica: una cubica (cioè un’equazione algebrica di terzo grado come funzione del tempo). Mostriamo come i suoi valori numerici corrispondano abbastanza bene al progresso storico nei seguenti campi: (1) astronomia dal 1000 a. C. al 2000 d. C., (2) SETI tra il 1450 e il 2000, (3) ricerca di esopianeti tra il 1950 e il 2010, (4) unificazione dell’Europa tra il 1750 e il 2010, (5) aspettativa di vita umana tra il 10000 a. C. e il 2000 d. C. estrapolata fino al 3000 d. C. e il 10000 d. C. Tutti questi risultati sono presentati come semplici modelli matematici di ciò che appare essere una “legge della ripresa storica” delle civiltà umane, che si potrebbe forse estendere anche ad altre civiltà aliene… naturalmente solo se SETI ha successo.

Capitolo 11- L’evoluzione esponenziale nel tempo come moto geometrico browniano. L’equazione statistica di Drake, descritta nel capitolo 1 e successivi, è statica (non cambia nel tempo). Fu solo l’8 gennaio 2012 che questo autore si rese conto che la sua equazione di Drake statistica statica altro non era che una istantanea di un processo probabilistico molto importante chiamato “moto geometrico browniano” (GBM), che assomigliava piuttosto a un film che a una istantanea. Ma GBM è un processo probabilistico molto importante, probabilmente il più importante di tutti: in effetti è stato dimostrato nel 1973 che si tratta dell’equazione chiave nel modello matematico “Black-Scholes”, oggi usato quotidianamente nella matematica finanziaria. Robert C.Merton fu il primo a pubblicare una relazione scientifica che espandeva la comprensione matematica del modello “option-pricing” e coniò il termine “modello Black-Scholes di option-pricing”. Merton e Scholes ricevettero il premio Nobel per l’economia nel 1997 e per quanto non designabile per il premio perchè deceduto nel 1995, Black fu menzionato dall’Accademia Svedese per il suo contributo. Detto questo, noi dimostriamo nel capitolo 11 che il GBM è in realtà lo stesso numero N(t), che aumenta esponenzialmente, delle civiltà in grado di comunicare nella Galassia, soggetto comunque all’incertezza. In altre parole: come l’intelligenza e la tecnologia continuano a evolvere, il sopracitato numero N(t) di civiltà exterrestri nella Galassia aumenta esponenzialmente, ma col rischio che alcune civiltà possano sparire improvvisamente a causa di un impatto asteroidale, l’esplosione di una supernova vicina, pianeti o stelle vagabondi che distruggono la stabilità gravitazionale del sistema stellare al quale si avvicinano, o perfino a causa di guerre nucleari tra extraterrestri. Perciò, il valor medio di N(t) cresce esponenzialmente nel come N(t) = N₀e^µt , ma N(t) stesso è un processo casuale con massimi e minimi, dato in sostanza da:

cioè un GBN, essendo B(t) il moto Browniano standard (0, 1). Fin qui tutto bene, ma dopo questa scoperta siamo andati avanti: abbiamo scoperto la funzione della densità di probabilità (pdf) del processo stocastico della distanza (“processo Maccone”?) data da:

Questa ovviamente si riduce alla distribuzione di distanza “Maccone” tra due qualsiasi civiltà ET discussa nel Capitolo 1 per il caso statico, il che è anche la distribuzione della distanza tra due pianeti abitabili vicini (con quantità diverse) come dimostrato nel Capitolo 3. Perciò, in conclusione, crediamo che il Capitolo 11 sia il capitolo più importante di questo libro perché apre la strada a future considerazioni statistiche riguardo agli ET e le loro distanze nella Galassia.

Traduzione DONATELLA LEVI

Editing FABRIZIO BERNARDINI